Question

已知函數(shù)f_n（x）=

x2-2x-a

enx

，其中n∈N^*，a∈R，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）若對(duì)任意n∈N^*，f_n（x）均有兩個(gè)極值點(diǎn)，一個(gè)在區(qū)間（1，4）內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，令g（x）=0，即x=0；或 x²-2x-a=0；△=4+4a，分情況討論可解得零點(diǎn)．
（II）f_n′（x）=

-nx2+2(n+1)x+a•n-2

enx

，設(shè)g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，g_n（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]則g_n（1）g_n（4）＜0，即可推得-1＜a＜(8-

6

n

)min，故-1＜a＜2．

解答： 解：（I）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

x2-2x-a

ex

-

x2-2x-a

e2x

=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，
令g（x）=0，有e^x-1=0，即x=0；或x²-2x-a=0；△=4+4a，
①當(dāng)a＜1時(shí)，△＜0函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn) x₁=0；  
②當(dāng)a=-1時(shí)，△=0函數(shù)g（x）有2個(gè)零點(diǎn)x₁=0，x₂=1；
③當(dāng)a=0時(shí)，△＞0函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁=0，x₂=2；
④當(dāng)a＞-1，a≠0時(shí)，△＞0函數(shù)g（x）有三個(gè)零點(diǎn)：
x₁=0，x₂=1-

a+1

，x₃=1+

a+1

（II）f_n′（x）=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

enx

=

-nx2+2(n+1)x+a•n-2

enx

，
設(shè)g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，
由題意對(duì)任意n∈N^*，g_n（x）=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]則對(duì)任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，
即n•（a+1）•n•[a-（8-

6

n

）]＜0，有(a+1)[a-(8-

6

n

)]＜0，…（7分）
又任意n∈N^*，8-

6

n

關(guān)于n遞增，8-

6

n

≥8-6=2，
故-1＜a＜(8-

6

n

)min，所以-1＜a＜2．
所以a的取值范圍是（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考察了計(jì)算能力，屬于難題．