Question

14．已知函數(shù)f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），g（t）=$\frac{f（x）}{t}$-3，其中t=log₂x（4≤x≤8）．
（1）求f（$\sqrt{2}$）的值；
（2）求函數(shù)g（t）的解析式，判斷g（t）的單調(diào)性并用單調(diào)性定義給予證明；
（3）若a≤g（t）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用代入法，結(jié)合對數(shù)運算法則，即可得到所求值；
（2）運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得t的范圍，化簡可得g（t）的解析式，且g（t）在[2，3]上遞增，運用單調(diào)性的定義證明，注意取值，作差，變形，定符號和下結(jié)論等步驟；
（3）由題意可得a≤g（t）的最小值，由（2）的單調(diào)性，可得g（2）最小，可得a的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log₂（2x）•log₂（4x），
可得f（$\sqrt{2}$）=log₂（2$\sqrt{2}$）•log₂（4$\sqrt{2}$）
=log₂2${\;}^{\frac{3}{2}}$•log₂2${\;}^{\frac{5}{2}}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{15}{4}$；
（2）t=log₂x（4≤x≤8），
可得2≤t≤3，
g（t）=$\frac{f（x）}{t}$-3=$\frac{（1+lo{g}_{2}x）（2+lo{g}_{2}x）}{t}$-3
=$\frac{（1+t）（2+t）}{t}$-3=$\frac{{t}^{2}+2}{t}$
=t+$\frac{2}{t}$，（2≤t≤3）．
結(jié)論：g（t）在[2，3]上遞增．
理由：設(shè)2≤t₁＜t₂≤3，
則g（t₁）-g（t₂）=t₁+$\frac{2}{{t}_{1}}$-（t₂+$\frac{2}{{t}_{2}}$）=（t₁-t₂）+$\frac{2（{t}_{2}-{t}_{1}）}{{t}_{1}{t}_{2}}$
=（t₁-t₂）•$\frac{{t}_{1}{t}_{2}-2}{{t}_{1}{t}_{2}}$，
由2≤t₁＜t₂≤3，可得t₁-t₂＜0，t₁t₂＞4＞2，
即有g(shù)（t₁）-g（t₂）＜0，
則g（t）在[2，3]上遞增．
（3）a≤g（t）恒成立，
即為a≤g（t）的最小值．
由g（t）在[2，3]上遞增，
可得g（2）取得最小值，且為3．
則實數(shù)a的取值范圍為a≤3．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，以及單調(diào)性的判斷和證明，注意運用定義法，同時考查恒成立問題的解法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．