分析 設(shè)焦點(diǎn)為F(c,0),設(shè)直線(xiàn)AB:y=k(x-c),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程,消去y,運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,由兩直線(xiàn)垂直的條件:斜率之積為-1,可得k,即可得到離心率的范圍.
解答 解:直線(xiàn)的斜率不存在時(shí),A(c,$\frac{^{2}}{a}$),B(c,-$\frac{^{2}}{a}$),由于OA⊥OB,則有x1x2+y1y2=0,可得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$;
焦點(diǎn)為F(c,0),直線(xiàn)AB:y=k(x-c),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)的方程,可得
(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-a2k2c2-a2b2=0,
則△=4c2a4k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)>0,
x1+x2=$\frac{-2c{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{-{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$,
則y1y2=k2(x1x2+c2-c(x1+x2))=k2•$\frac{{a}^{2}^{2}-^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}{k}^{2}-^{2}}$,
由于OA⊥OB,則有x1x2+y1y2=0,
即有a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,
即有k2=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{4}-{a}^{4}-{a}^{2}^{2}}$,
∴$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{4}-{a}^{4}-{a}^{2}^{2}}$>$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$,
∵b>a,∴$\sqrt{3}$>e>$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,
故答案為$\sqrt{3}$>e≥$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的范圍,考查聯(lián)立直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程,消去未知數(shù),運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題和易錯(cuò)題.
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A. | $\frac{15}{16}$ | B. | $\frac{15}{12}$ | C. | $\frac{13}{8}$ | D. | $\frac{13}{4}$ |
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A. | 如果a1是5的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必有相同的項(xiàng) | |
B. | 如果a1不是5的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}必沒(méi)有相同的項(xiàng) | |
C. | 如果a1不是5的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}只有有限個(gè)相同的項(xiàng) | |
D. | 如果a1不是5的倍數(shù),那么數(shù)列{an}與數(shù)列{2n}有無(wú)窮多個(gè)相同的項(xiàng). |
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A. | v1>v2,s1>s2 | B. | v1<v2,s1>s2 | C. | v1>v2,s1<s2 | D. | v1<v2,s1<s2 |
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