Question

如果關(guān)于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0無實數(shù)根，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：一元二次不等式的應(yīng)用

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：對二次項系數(shù)和0的大小關(guān)系分情況討論；再在每一種情況下找到滿足要求的實數(shù)a的取值范圍；最后綜合即可．（注意不等式ax²-4|x+1|+2a＜0無實數(shù)根即解集為空集等價于所有的函數(shù)值都大于等于0，即最小值大于等于0）．

解答： 解：當a=0時，-4|x+1|＜0的解集不是空集；這種情況舍去．
當a＜0，因為開口向下的二次函數(shù)圖象是向下無限延伸的，
所以ax²-|x+1|+2a＜0的解集不可能為空集．這種情況舍去．
當a＞0，
當x≤-1時，不等式ax²-4|x+1|+2a＜0即為ax²+4x+2a+4＜0，
對稱軸為x=-

2

a

＞0，
∵關(guān)于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0無實數(shù)根，即解集為空集，
設(shè)f（x）=ax²-4|x+1|+2a，
∴f（x）_min=f（-1）≥0⇒a≥0，
∴a＞0；
當x＞-1時，不等式ax²-4|x+1|+2a＜0為ax²-4x+2a-4＜0，
對稱軸為x=

2

a

＞0，
∵關(guān)于x的不等式ax²-4|x+1|+2a＜0的解集為空集，
∴f（x）_min=f（

2

a

）≥0⇒2a²-4a-4≥0⇒a≥1+

3

，或a≤1-

3

．
∴a≥1+

3

．
綜上得：a≥1+

3

．
故答案為：[1+

3

，+∞）．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，解題的關(guān)鍵是對參數(shù)的范圍進行分類討論，分類解不等式，此題是一元二次不等式解法中的難題，易因為分類不清與分類有遺漏導(dǎo)致解題失敗，解答此類題時要嚴謹，避免考慮不完善出錯．