Question

（2009江蘇卷）(本小題滿(mǎn)分16分)

按照某學(xué)者的理論，假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣(mài)出該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿(mǎn)意度為；如果他買(mǎi)進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元，則他的滿(mǎn)意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣(mài)出或買(mǎi)進(jìn))的滿(mǎn)意度分別為和，則他對(duì)這兩種交易的綜合滿(mǎn)意度為.

現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元，設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元，甲買(mǎi)進(jìn)A與賣(mài)出B的綜合滿(mǎn)意度為，乙賣(mài)出A與買(mǎi)進(jìn)B的綜合滿(mǎn)意度為

(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式；當(dāng)時(shí)，求證：=；

(2)設(shè)，當(dāng)、分別為多少時(shí)，甲、乙兩人的綜合滿(mǎn)意度均最大？最大的綜合滿(mǎn)意度為多少？

(3)記(2)中最大的綜合滿(mǎn)意度為，試問(wèn)能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立？試說(shuō)明理由。

Answer 1

解析：本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力以及數(shù)學(xué)閱讀能力。滿(mǎn)分16分。

(1)

當(dāng)時(shí)，,

,     =

（2）當(dāng)時(shí)，

由，

故當(dāng)即時(shí)，

甲乙兩人同時(shí)取到最大的綜合滿(mǎn)意度為。

（3）（方法一）由（2）知：=

由得：，

令則，即：。

同理，由得：

另一方面，

當(dāng)且僅當(dāng)，即=時(shí)，取等號(hào)。

所以不能否適當(dāng)選取、的值，使得和同時(shí)成立，但等號(hào)不同時(shí)成立。