Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，上頂點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為$\sqrt{7}$，且短軸長是焦距的$\sqrt{3}$倍．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l∥AB并交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，是否存在常數(shù)λ，使得|AB|²=λ|MN|？若存在，請(qǐng)求出λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），運(yùn)用離心率公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)以及三角形的面積公式，計(jì)算即可得到a，b，c，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，再設(shè)直線x=my，代入橢圓方程，運(yùn)用弦長公式，化簡可得|AB|，再由計(jì)算即可得到所求常數(shù)λ．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由題意可得2b=2$\sqrt{3}$c，$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\sqrt{7}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$得（3m²+4）y²+6my-9=0，
即有y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{6m}{4+3{m}^{2}}）^{2}+\frac{36}{4+3{m}^{2}}}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
設(shè)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由x=my代入橢圓方程可得
消去x，并整理得y²=$\frac{12}{4+3{m}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₃-y₄|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，
即有$\frac{|AB{|}^{2}}{\left|MN\right|}$=$\frac{48（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$•$\frac{4+3{m}^{2}}{12（1+{m}^{2}）}$=4．
故存在常數(shù)λ=4，使得|AB|²=4|MN|．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)，考查弦長的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．