Question

1．已知無(wú)窮數(shù)列{c_n}滿足c_n+1=|1-|1-2c_n||．
（Ⅰ）若c₁=$\frac{1}{7}$，寫出數(shù)列{c_n}的前4項(xiàng)；
（Ⅱ）對(duì)于任意0＜c₁≤1，是否存在實(shí)數(shù)M，使數(shù)列{c_n}中的所有項(xiàng)均不大于M？若存在，求M的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）當(dāng)c₁為有理數(shù)，且c₁≥0時(shí)，若數(shù)列{c_n}自某項(xiàng)后是周期數(shù)列，寫出c₁的最大值．（直接寫出結(jié)果，無(wú)需證明）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由c₁=$\frac{1}{7}$代入遞推式，計(jì)算即可得到所求；
（Ⅱ）存在滿足題意的實(shí)數(shù)M，且M的最小值為1．
方法一：猜想0≤c_n≤1，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．先證n=1成立；假設(shè)n=k成立．推得n=k+1也成立；
方法二、運(yùn)用反證法．當(dāng)n≥2時(shí)，若存在k=2，3，4…，滿足c_k-1＜1，且c_k＞1．推理得到矛盾，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）根據(jù)周期數(shù)列概念，可得最大值為2．

解答 （本小題共13分）
解：（Ⅰ）$\frac{1}{7}，\frac{2}{7}，\frac{4}{7}，\frac{6}{7}，\frac{2}{7}$…．（4分）
（Ⅱ）存在滿足題意的實(shí)數(shù)M，且M的最小值為1．
解法一：猜想0≤c_n≤1，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，0≤c₁≤1，結(jié)論成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，即0≤c_k≤1，
當(dāng)n=k+1時(shí)，0≤2c_k≤2，所以-1≤1-2c_k≤1，
即0≤|1-2c_k|≤1，所以0≤1-|1-2c_k|≤1，
故0≤|1-|1-2c_k||≤1．
又因?yàn)閏_k+1=|1-|1-2c_k||，
所以0≤c_k+1≤1，
所以n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
綜上，由（1），（2）知，0≤c_n≤1成立
所以M≥1，當(dāng)${c_1}=\frac{1}{2}$時(shí)，可得當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=1，此時(shí)，M的最小值為1
故M的最小值為1．
解法二：當(dāng)n≥2時(shí)，若存在k=2，3，4…，滿足c_k-1＜1，且c_k＞1．
顯然${c_{k-1}}≠0，\frac{1}{2}，1$，則$\frac{1}{2}＜{c_{k-1}}＜1$時(shí)，c_k=2-2c_k-1＜1與c_k＞1矛盾；
$0＜{c_{k-1}}＜\frac{1}{2}$時(shí)，c_k=2c_k-1＜1與c_k＞1矛盾；
所以0≤c_n≤1（n≥2）
所以M≥1，當(dāng)${c_1}=\frac{1}{2}$時(shí)，可得當(dāng)n≥2時(shí)，c_n=1，此時(shí)，M的最小值為1．
故M的最小值為1．…（10分）
（Ⅲ）2…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的證明，考查存在性問(wèn)題的解法，注意數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，由n=k成立，證得n=k+1也成立是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．