Question

13．拋物線C：y=x²在點P（x₀，y₀）處的切線l分別交x軸、y軸于不同的兩點A、B．
（1）如果|AB|=$\sqrt{17}$，求點P的坐標：
（2）圓心E在y軸上的圓與直線l相切于點P，當|PE|=|PA|時，求圓的方程．

Answer 1

分析 （1）由導數(shù)的幾何意義求出切線l的方程，從而得到A、B坐標，由|AB|=$\sqrt{17}$，能求出點P的坐標．
（2）設圓心E的坐標為（0，b），由題知k_PE•k_l=-1，從而得到${y}_{0}-b=-\frac{1}{2}$，由|PE|=|PA|，得到$4{{y}_{0}}^{2}-3{y}_{0}-1=0$，由此能求出圓E的方程．

解答 （本題滿分14分）
解：（1）由拋物線C：y=x²，得y′=2x，∴${y}^{'}{|}_{x={x}_{0}}$=2x₀，
切線l的方程為y-y₀=2x₀（x-x₀），其中${y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$，
令x=0得y=-${{x}_{0}}^{2}$，令y=0，得x=$\frac{{x}_{0}}{2}$，
所以$A（\frac{{x}_{0}}{2}，0）$，B（0，-${{x}_{0}}^{2}$），
∵|AB|=$\sqrt{17}$，∴$A{B}^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{x}_{0}}^{4}=17$，
解得x₀=±2，點P的坐標為（-2，4）或（2，4）．
（2）設圓心E的坐標為（0，b），由題知k_PE•k_l=-1，即$\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}•2{x}_{0}=-1$，
所以${y}_{0}-b=-\frac{1}{2}$，
由|PE|=|PA|，得${{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-b）^{2}$=$（\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}+{{y}_{0}}^{2}$，整理得$4{{y}_{0}}^{2}-3{y}_{0}-1=0$，
解得y₀=1或${y}_{0}=-\frac{1}{4}$（舍去），
所以b=$\frac{3}{2}$，圓E的圓心E的坐標為（0，$\frac{3}{2}$），
半徑r=|PE|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-b）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，圓E的方程為${x}^{2}+（y-\frac{3}{2}）^{2}=\frac{5}{4}$．

點評 本題考查點的坐標的求法，考查圓的方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)的幾何意義和圓的性質的合理運用．