Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+^{2}}{x+a}$（x∈[0，+∞），其中a＞0，b∈R．記M（a，b）為f（x）的最小值．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求a的取值范圍，使得存在b，滿足M（a，b）=-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令x+a=t（t≥a），即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）+^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}+^{2}}{t}$-3a，運用函數(shù)的導數(shù)判斷單調(diào)性即可得到；
（Ⅱ）由（1）的結(jié)論，求得最小值，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）令x+a=t（t≥a），
即有y=$\frac{（t-a）^{2}-a（t-a）+^{2}}{t}$=t+$\frac{2{a}^{2}+^{2}}{t}$-3a，
y′=1-$\frac{2{a}^{2}+^{2}}{{t}^{2}}$=0，解得t=$\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}$．
可得在（a，$\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}$）上y′＜0，函數(shù)遞減；
在（$\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}$，+∞）上y′＞0，函數(shù)遞增．
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（（$\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}$，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得當t=$\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}$＞a，
可得M（a，b）=2$\sqrt{2{a}^{2}+^{2}}$-3a=-1，
可得4b²=a²-6a+1≥0，
解得0＜a≤3-2$\sqrt{2}$或a≥3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值的求法，考查運算能力，屬于中檔題．