Question

7．對于在區(qū)間[a，b]上有意義的兩個函數(shù)f（x）和g（x），如果對任意x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|＜1，那么我們稱f（x）和g（x）在[a，b]上是接近的．若f（x）=log₂（kx+1）與g（x）=log₂x在閉區(qū)間[1，2]上是接近的，則實數(shù)k的一個可能值是（0，1）中的值．

Answer 1

分析 若f（x）=log₂（kx+1）與g（x）=log₂x在閉區(qū)間[1，2]上是接近的，則對任意x∈[1，2]，均有|f（x）-g（x）|＜1，即$\frac{\frac{1}{2}x-1}{x}＜k＜\frac{2x-1}{x}$恒成立，進(jìn)而得到k的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=log₂（kx+1）與g（x）=log₂x在閉區(qū)間[1，2]上是接近的，
∴對任意x∈[1，2]，均有|f（x）-g（x）|＜1，即|log₂（kx+1）-log₂x|＜1，
即-1＜${log}_{2}\frac{kx+1}{x}$＜1，即$\frac{1}{2}＜\frac{kx+1}{x}＜2$，即$\frac{\frac{1}{2}x-1}{x}＜k＜\frac{2x-1}{x}$恒成立，
當(dāng)x∈[1，2]時，$\frac{\frac{1}{2}x-1}{x}$∈[-$\frac{1}{2}$，0]，$\frac{2x-1}{x}$∈[1，$\frac{3}{2}$]，
故k∈（0，1），
故答案為：（0，1）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．