Question

9．已知函數(shù)f（x）=1-cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x，x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）若x₀（0≤x₀≤$\frac{π}{2}$）為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及輔助角公式將f（x）化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（2）由f（x₀）=0，求得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，由x₀的取值范圍，即可求得2x₀-$\frac{π}{6}$的取值范圍，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）的值，由2x₀=（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$，根據(jù)兩角和的正弦公式即可求得sin2x₀的值．

解答 解：（1）f（x）=1-$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x，
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{1}{2}$，
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，…（4分）
 T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π，
所以f（x）的最小正周期為π，
由sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]，
∴f（x）的值域?yàn)閇-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$]．…（6分）
（2）由f（x₀）=2sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=0，
得sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$＜0，…（7分）
又由0≤x₀≤$\frac{π}{2}$，得-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，…（8分）
∴-$\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$＜0，…（9分）
∴cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，…（10分）
則  sin2x₀=sin[（2x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]，
=sin（2x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+cos（2x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$ …（11分）
=-$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$，
sin2x₀=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換的應(yīng)用，考查二倍角公式、輔助角公式及兩角和差的公式的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．