Question

20．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，D₁C與平面ABCD所成的角為30°，BC₁與BC所成的角為45°，則二面角D₁-AC-B的正切值為$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，由長方體的性質(zhì)可得：可得∠DCD₁是D₁C與平面ABCD所成的角，CC₁⊥BC．在Rt△DCD₁中，利用tan30°=$\frac{D{D}_{1}}{DC}$，可得得DC．在Rt△BCC₁中，tan45°=$\frac{C{C}_{1}}{BC}$，解得BC．作DE⊥AC，連接D₁E，則AC⊥D₁E．可得∠DED₁是二面角D₁-AC-D的平面角．在Rt△ADC中，可得DE，可得tan∠DED₁=$\frac{D{D}_{1}}{DE}$．由圖可知：二面角D₁-AC-B與二面角D₁-AC-D互補，即可得出二面角D₁-AC-B的正切值．

解答 解：如圖所示，
由長方體的性質(zhì)可得：DD₁⊥平面ABCD，CC₁⊥平面ABCD，
∴∠DCD₁是D₁C與平面ABCD所成的角，CC₁⊥BC．
在Rt△DCD₁中，tan30°=$\frac{D{D}_{1}}{DC}$=$\frac{1}{DC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，解得DC=$\sqrt{3}$．
在Rt△BCC₁中，tan45°=$\frac{C{C}_{1}}{BC}$=$\frac{1}{BC}$=1，解得BC=1．
作DE⊥AC，連接D₁E，則AC⊥D₁E．
∴∠DED₁是二面角D₁-AC-D的平面角．
在Rt△ADC中，DE=$\frac{AD×DC}{AC}$=$\frac{AD×DC}{\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}}$=$\frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴tan∠DED₁=$\frac{D{D}_{1}}{DE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
由圖可知：二面角D₁-AC-B與二面角D₁-AC-D互補，
∴二面角D₁-AC-B的正切值為$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了空間角、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．