9．（1）設(shè)a≥b＞0，證明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；
（2）已知|a|＜1，|b|＜1，證明|1-ab|＞|a-b|．

分析 （1）直接利用作差法，再進行因式分解，分析證明即可．
（2）直接利用作差法，結(jié)合平方、開方，然后分析證明即可．

解答 證明：（1）3a3+2b3-（3a2b+2ab2）=3a3-3a2b+2b3-2ab2=3a2（a-b）+2b2（b-a）=（3a2-2b2）（a-b）．
因為a≥b＞0，
所以a-b≥0，3a2-2b2≥0，
從而（3a2-2b2）（a-b）≥0，
即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．
（2）∵|1-ab|2-|a-b|2=1+a2b2-a2-b2=（a2-1）（b2-1）．
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a2-1＜0，b2-1＜0．
∴|1-ab|2-|a-b|2＞0，
故有|1-ab|＞|a-b|．

點評 本題考查不等式的證明，作差法的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

18．已知某幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的外接球的表面積為41π．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，D1C與平面ABCD所成的角為30°，BC1與BC所成的角為45°，則二面角D1-AC-B的正切值為$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．已知函數(shù)f（x）=ex-ax-1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{2}$，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+klnx，k≠0，若關(guān)于x的方程f（x）=k有解，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=（x-a）2+1．
（Ⅰ）當a=1時，解不等式f（x）+f（2x+3）≥5；
（Ⅱ）對任意x≠a，若$\frac{f（x）}{g（x）}$＜m恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

1．某中學(xué)為了普及奧運會知識和提高學(xué)生參加體育運動的積極性，舉行了一次奧運知識競賽．隨機抽取了30名學(xué)生的成績，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定成績在75分以上（包括75分）的學(xué)生定義為甲組，成績在75分以下（不包括75分）定義為乙組．
（Ⅰ）在這30名學(xué)生中，甲組學(xué)生中有男生7人，乙組學(xué)生中有女生12人，試問有沒有90%的把握認為成績分在甲組或乙組與性別有關(guān)；
（Ⅱ）記甲組學(xué)生的成績分別為x1，x2，…，x12，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，求輸出的S的值；
（Ⅲ）競賽中，學(xué)生小張、小李同時回答兩道題，小張答對每道題的概率均為$\frac{1}{3}$，小李答對每道題的概率均為$\frac{1}{2}$，兩人回答每道題正確與否相互獨立．記小張答對題的道數(shù)為a，小李答對題的道數(shù)為b，X=|a-b|，寫出X的概率分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．

附：K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$；其中n=a+b+c+d
獨立性檢驗臨界表：
P（K2＞k0）0.1000.0500.010
k02.7063.8416.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18． 2016年全國兩會，即中華人民共和國第十二屆全國人民代表大會第四次會議和中國人民政治協(xié)商會議第十二屆全國委員會第四次會議，分別于2016年3月5日和3月3日在北京開幕．為了解哪些人更關(guān)注兩會，某機構(gòu)隨抽取了年齡在15～75歲之間的100人進行調(diào)查，并按年齡繪制的頻率分布直方圖如圖所示，其分組區(qū)間為：[15，25），[25，35），[35，45），[55，65），[65，75]．把年齡落在區(qū)間[15，35）和[35，75]內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”，經(jīng)統(tǒng)計“青少年人”和“中老年人”的人數(shù)之比為9：11．
（1）求圖中a、b的值根；
（2）若“青少年人”中有15人關(guān)注兩會，根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，根據(jù)此統(tǒng)計結(jié)果能否有99%的把握認為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注兩會？
關(guān)注不關(guān)注合計
青少年人15
中老年人
合計5050100
附：參考公式和臨界值表：
P（K2≥k0）0.050.010.001
k03.8416.63510.828
K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x3+$\frac{a}{2}$x2-2x（a∈R）．
（I）當a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若過點（0，-$\frac{1}{3}$）可作函數(shù)y=f（x）圖象的三條不同切線，求實數(shù)a的取值范圍．

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