Question

14．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為A₁D中點，N為AC中點．
（1）求異面直線MN和AB所成的角；
（2）求證：MN⊥AB₁．

Answer 1

分析 （1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線MN和AB所成的角的大�。�
（2）分別求出$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，利用向量法能證明MN⊥AB₁．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得M（$\frac{a}{2}$，0，$\frac{a}{2}$），N（$\frac{a}{2}，\frac{a}{2}$，0），A（a，0，0），B（a，a，0），
$\overrightarrow{MN}$=（0，$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，a，0），
設(shè)MN和AB所成的角為θ，
則cosθ=|$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{MN}|•|\overrightarrow{AB}|}$|=|$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^{2}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°，
∴異面直線MN和AB所成的角為45°．
證明：（2）$\overrightarrow{MN}$=（0，$\frac{a}{2}$，-$\frac{a}{2}$），B₁（a，a，a），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，a，a），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0+$\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}$=0，
∴MN⊥AB₁．

點評 本題考查異面直線所成角的求法，考查異面垂直的證明，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．