Question

（2013•昌平區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線的傾斜角為

π

4

，求f（x）在[-1，1]上的最小值；
（Ⅱ）若存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率等于1，建立關(guān)于a的方程，解出a，再求出f′（x）=0，再討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而來(lái)確定極值點(diǎn)，通過(guò)比較極值與端點(diǎn)的大小從而確定出最值．
（II）存在x₀∈（0，+∞），使f（x₀）＞0，即f（x）在（0，+∞）上的最大值大于0，故先求導(dǎo)，然后分a＞0和a≤0兩種情況分別討論f（x）在（0，+∞）上的最大值情況即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=-3x²+2ax（1分），
由已知f′（x）=tan

π

4

=1，即-3+2a=1（2分），
∴a=2（3分）； …（3分）
此時(shí)，知f（x）=-x³+2x²-4（4分），
f′（x）=-3x²+4x=-3x（x-

4

3

）（5分），
x∈[-1，1]時(shí)，如下表：
…．（6分）
∴x∈[-1，1]時(shí)，f（x）最小值為f（0）=-4，…（7分）
（II）∵f′（x）=-3x（x-

2a

3

），
（1）若a≤0，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，從而f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又f（0）=-4，則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜-4．
∴當(dāng)a≤0時(shí)，不存在x₀＞0使f（x₀）＞0（11分）；
（2）若a＞0時(shí)，
當(dāng)0＜x＜

2a

3

時(shí)，f′（x）＞0．當(dāng)x＞

2a

3

時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

2a

3

]上單增，在[

2a

3

，+∞）單減；
∴x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）_max=f（

2a

3

）=

4a3

27

-4（12分），
由已知，必須

4a3

27

-4＞0
∴a³＞27，a＞3 …（13分）
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)，涉及了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性較強(qiáng)，難度較大．