Question

已知f（x）=

a•2x-2+a

2x+1+2

（x∈R），若對x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立．
（1）求實數(shù)a 的值，并求f（1）值；
（2）討論函數(shù)的單調性，并證明；
（3）解不等式 f（2t²-t）+f（t²-2）＜0．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由對x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故f（0）=0，解得a值，及f（1）值；
（2）任取x₁＜x₂，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據(jù)單調性的定義可得結論；
（3）由（1）（2）中的函數(shù)性質，可將不等式 f（2t²-t）+f（t²-2）＜0化為2t²-t＜-t²+2，解得答案．

解答： 解：（1）由對x∈R，都有f（-x）=-f（x）成立得，
函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
故f（0）=

a-2+a

2 +2

=0，
解得：a=1，
∴f（1）=

1

6

．…（4分）
（2）f（x）在定義域R上為增函數(shù)．…（6分）
證明如下：由（1）得

2x-1

2x+1+2

任取x₁＜x₂，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1+2

-

2x2-1

2x2+1+2

=

2(2x1+1-2x2+1)

(2x2+1+2)(2x2+1+2)

=

(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x2+1)

 …（8分）
∵2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定義域R上為增函數(shù)．（未用定義證明適當扣分） …（10分）
（3）原不等式可化為f（2t²-t）＜-f（t²-2），
由f（-x）=-f（x）得：f（2t²-t）＜f（-t²+2），
∵f（x）在定義域R上為增函數(shù)，
∴2t²-t＜-t²+2，
即3t²-t-2＜0
解得：x∈（-

2

3

，1）（其它解法也可）          …（13分）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調性，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質，是函數(shù)的圖象和性質的綜合應用，難度中檔．