Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x²+y²=4，橢圓C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A為橢圓右頂點(diǎn)．過(guò)原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B，C兩點(diǎn)，直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P，直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q，其中$D（-\frac{6}{5}，0）$．設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求k₁k₂的值；
（2）記直線PQ，BC的斜率分別為k_PQ，k_BC，是否存在常數(shù)λ，使得k_PQ=λk_BC？若存在，求λ值；若不存在，說(shuō)明理由；
（3）求證：直線AC必過(guò)點(diǎn)Q．

Answer 1

分析 （1）設(shè)B（x₀，y₀），則C（-x₀，-y₀），代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)即可得到所求值；
（2）聯(lián)立直線AB的方程和圓方程，求得P的坐標(biāo)；聯(lián)立直線AB的方程和橢圓方程，求得B的坐標(biāo)，再求直線PQ，和直線BC的斜率，即可得到結(jié)論；
（3）討論直線PQ的斜率不存在和存在，聯(lián)立直線PQ的方程和橢圓方程，求得Q的坐標(biāo)，可得AQ的斜率，即可得證．

解答 解：（1）設(shè)B（x₀，y₀），則C（-x₀，-y₀），$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}•\frac{y_0}{{{x_0}+2}}=\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=\frac{{1-\frac{1}{4}{x_0}^2}}{{{x_0}^2-2}}=-\frac{1}{4}$；            
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-2）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$得$（1+k_1^2）{x^2}-4k_1^2x+4（k_1^2-1）=0$，
解得${x_P}=\frac{2（k_1^2-1）}{1+k_1^2}，{y_P}={k_1}（{x_P}-2）=\frac{{-4{k_1}}}{1+k_1^2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}（x-\sqrt{2}）\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得$（1+4k_1^2）{x^2}-16k_1^2x+4（4k_1^2-1）=0$，
解得${x_B}=\frac{2（4k_1^2-1）}{1+4k_1^2}，{y_B}={k_1}（{x_B}-\sqrt{2}）=\frac{{-4{k_1}}}{1+4k_1^2}$，
所以${k_{BC}}=\frac{y_B}{x_B}=\frac{{-2{k_1}}}{4k_1^2-1}$，${k_{PQ}}=\frac{y_P}{{{x_P}+\frac{6}{5}}}=\frac{{\frac{{-4{k_1}}}{1+k_1^2}}}{{\frac{2（k_1^2-1）}{1+k_1^2}+\frac{6}{5}}}=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}$，
所以${k_{PQ}}=\frac{5}{2}{k_{BC}}$，
故存在常數(shù)$λ=\frac{5}{2}$，使得${k_{PQ}}=\frac{5}{2}{k_{BC}}$．           
（3）證明：當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí)，$Q（-\frac{6}{5}，-\frac{8}{5}）$，
則${k_{AQ}}=\frac{{-\frac{8}{5}}}{{-\frac{6}{5}-2}}=\frac{1}{2}={k_2}$，所以直線AC必過(guò)點(diǎn)Q．
當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí)，直線PQ方程為：$y=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}（x+\frac{6}{5}）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{-5{k_1}}}{4k_1^2-1}（x+\frac{6}{5}）\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$，
解得${x_Q}=\frac{-2（16k_1^2-1）}{16k_1^2+1}，{y_Q}=\frac{{16{k_1}}}{16k_1^2+1}$，
所以${k_{AQ}}=\frac{{\frac{{16{k_1}}}{16k_1^2+1}}}{{\frac{-2（16k_1^2-1）}{16k_1^2+1}-2}}=-\frac{1}{{4{k_1}}}={k_2}$，
故直線AC必過(guò)點(diǎn)Q．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，考查直線的斜率和方程的運(yùn)用，就化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．