Question

5．某市氣象部門對該市中心城區(qū)近4年春節(jié)期間（每年均統(tǒng)計春節(jié)假期的前7天）的空氣污染指數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計分析，且按是否燃放鞭炮分成兩組，得到如圖的莖葉圖，根據(jù)國家最新標(biāo)準(zhǔn)，空氣污染指數(shù)不超過100的表示沒有霧霾，超過100的表示有霧霾．
（Ⅰ）若從莖葉圖有霧霾的14天中隨機(jī)抽取2天，用隨機(jī)變量ξ表示被抽中且未燃放鞭炮的天數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）通過莖葉圖填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷有多大的把握可以認(rèn)為燃放鞭炮與產(chǎn)生霧霾有關(guān)？

	燃放	未燃放	合計
有霧霾
無霧霾
合計

附：獨立性檢驗卡方統(tǒng)計量：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d為樣本容量；
獨立性檢驗臨界值表：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值以及對應(yīng)的概率值，列出ξ的分布列，計算ξ的數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）通過莖葉圖填寫2×2列聯(lián)表，計算觀測值，對照數(shù)表得出概率結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為0，1，2；
相應(yīng)的概率分別為P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{66}{91}$；
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{24}{91}$；
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{12}^{0}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{1}{91}$；
所以隨機(jī)變量ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	$\frac{66}{91}$	$\frac{24}{91}$	$\frac{1}{91}$

隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ=0×$\frac{66}{91}$+1×$\frac{24}{91}$+2×$\frac{1}{91}$=$\frac{2}{7}$；
（Ⅱ）通過莖葉圖填寫2×2列聯(lián)表如下，

	燃放	未燃放	合計
有霧霾	12	2	14
無霧霾	6	8	14
合計	18	10	28

計算觀測值K²=$\frac{28{×（12×8-6×2）}^{2}}{18×10×14×14}$=$\frac{28}{5}$=5.6＞5.024，
所以至少有97.5%的把握認(rèn)為該城市燃放鞭炮與產(chǎn)生霧霾天氣有關(guān)．

點評 本題考查了對立性檢驗的應(yīng)用問題，也考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是基礎(chǔ)題目．