Question

（2013•嘉定區(qū)一模）已知雙曲線C的方程為x²-

y2

4

=1，點(diǎn)A（m，2m）和點(diǎn)B（n，-2n）（其中m和n均為正數(shù)）是雙曲線C的兩條漸近線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，雙曲線C上的點(diǎn)P滿足

AP

=λ•

PB

（其中λ∈[

1

2

，3]）．
（1）用λ的解析式表示mn；
（2）求△AOB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由A（m，2m），B（-n，2n），根據(jù)

AP

=λ•

PB

得P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡(jiǎn)整理m，n與λ的關(guān)系式；
（2）設(shè)∠AOB=2θ，進(jìn)而根據(jù)直線的斜率求得tanθ，進(jìn)而求得sin2θ，進(jìn)而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達(dá)式，根據(jù)λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得．

解答：解：（1）由已知，點(diǎn)A（m，2m）和點(diǎn)B（n，-2n），設(shè)P（x，y）
由

AP

=λ•

PB

，得

x= m+λn 1+λ y= 2m-2λn 1+λ

，故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

m+λn

1+λ

，

2(m-λn)

1+λ

），…（3分）
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入x²-

y2

4

=1，化簡(jiǎn)得，mn=

(1+λ)2

4λ

．…（3分）
（2）設(shè)∠AOB=2θ，則tanθ=2，所以sin2θ=

4

5

．…（1分）
又|OA|=

5

m，|OB|=

5

n，
所以S_△AOB=

1

2

|OA||OB|sin2θ=2mn=

1

2

•

(1+λ)2

λ

=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，…（3分）
記S（λ）=

1

2

(λ+

1

λ

)+1，λ∈[

1

2

，3]）．
則S（λ）在λ∈[

1

2

，3]）上是減函數(shù)，在λ∈[1，3]上是增函數(shù)．…（2分）
所以，當(dāng)λ=1時(shí)，S（λ）取最小值2，當(dāng)λ=3時(shí)，S（λ）取最大值

8

3

．
所以△AOB面積的取值范圍是[2，

8

3

]．…（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．