Question

已知函數(shù)f（x）=ax-e^x，（a＞0）
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求證：對任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）若a=1，求函數(shù)的導數(shù)利用導數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）對任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．轉(zhuǎn)化為以a為參數(shù)的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答： 解：（1）當a=1，則f（x）=x-e^x，
則f′（x）=x-e^x，
f′（1）=1-e，f（1）=1-e，
故函數(shù)x=1處的切線方程為y-（1-e）=（1-e）（x-1），
即y=（1-e）x．
（2）若f（x）≤x恒成立，
即ax-e^x≤x恒成立，即證ax-x-e^x≤0即可，
設(shè)g（a）=ax-x-e^x，
若x=0，則g（a）=-1≤0成立，
若x≥0，則當a∈[1，e+1]時，函數(shù)g（a）單調(diào)遞增，此時函數(shù)的最大值g（e+1）=（e+1）x-x-e^x=ex-e^x，
設(shè)h（x）=ex-e^x，則h′（x）=e-e^x，由h′（x）＜0，解得x＞1，由h′（x）＞0，解得0≤x＜1，
即當x=1時，函數(shù)h（x）取得極大值，h（1）=e-e=0，
故當x≥0時，h（x）≤h（1）=e-e=0，g（e+1）=ex-e^x≤0成立，
若x＜0，則a∈[1，e+1]時，函數(shù)g（a）單調(diào)d遞減，此時函數(shù)的最大值g（1）=x-x-e^x=-e^x＜0，
綜上（a）=ax-x-e^x≤0成立，
即任意的a∈[1，e+1]，f（x）≤x恒成立．

點評：本題主要考查函數(shù)的切線求解，綜合考查導數(shù)是幾何意義的應用，利用參數(shù)轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵．