Question

已知橢圓

x2

12

+

y2

3

=1的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₁作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P．
（1）求|PF₂|；
（2）過右焦點F₂的直線l，它的一個方向向量

d

=（1，1），與橢圓相交于A，B兩點，求△F₁AB的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意方程求出其焦點坐標(biāo)，聯(lián)立

x=-3 x2 12 + y2 3 =1

求得P的坐標(biāo)，然后由橢圓定義求得|PF₂|；
（2）由直線的方向向量得到直線的斜率，寫出直線方程，和題意方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B兩點的縱坐標(biāo)的和與積，代入面積公式∴S△F1AB=

1

2

|F1F2||y1-y2|求△F₁AB的面積．

解答： 解：（1）由橢圓

x2

12

+

y2

3

=1，得a²=12，b²=3，c²=a²-b²=9，c=3．
∴F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
聯(lián)立

x=-3 x2 12 + y2 3 =1

，解得：y=±

3

2

．
則|PF1|=

3

2

，∴|PF₂|=2a-|PF₁|=2

3

-

3

2

=

3 3

2

；
（2）由直線l的方向向量

d

=（1，1），可得直線l的斜率為1，
則直線l的方程為y-0=1×（x-3），即y=x-3．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=x-1 x2 12 + y2 3 =1

，得5y²+2y-11=0．
y1+y2=-

2

5

，y1y2=-

11

5

．
∴S△F1AB=

1

2

|F1F2||y1-y2|=

1

2

•2c•

(y1+y2)2-4y1y2

=3

(- 2 5 )2+ 44 5

=

12 14

5

．

點評：本題考查了橢圓的方程，考查了橢圓的定義，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了弦長公式的應(yīng)用，是中檔題．