Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點、，求證：；

（3）設，函數(shù)的反函數(shù)為，令，、、，，且，若時，對任意的且，恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）具體詳見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導數(shù)，對與的大小進行分類討論，分析導數(shù)的符號變化，進而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求得，由題意可知方程有兩個不等的正根、，可求得的取值范圍，并列出韋達定理，進而可得出，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)證明出即可；

（3）根據(jù)題意得出，進而可得，、、，，且，由已知條件得出，分析出函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，進而可求得的最小值.

（1）函數(shù)的定義域為，

①當時，由得；由，得.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當時，由得；由得或.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；

③當時，對任意的恒成立，此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；

④當時，由得；由得或.

此時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.

綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；

（2）證明：，

由已知函數(shù)有兩個不同的極值點、，知有兩個不等的正實數(shù)根，

即有兩個不等正實數(shù)根，即，解得，

，

令，，

，

因為，所以，，

所以在單調(diào)遞增，，結論得證；

（3）當時，，則，

所以，、、，，且，

對，恒成立，

即，即，

因為在單調(diào)遞減，所以也遞減，

當時，，

即對任意且，恒成立，

顯然當時，，即，即，所以的最小值為．