Question

在全國漢字聽寫大賽之前，某地先進(jìn)行了共十輪的選拔賽，某研究機構(gòu)一直關(guān)注其測試選拔過程．第二輪選拔后有450名學(xué)生進(jìn)入下一輪，該機構(gòu)利用分層抽樣的方法抽取了90人進(jìn)行跟蹤調(diào)查，得到第三輪是否通過的數(shù)據(jù)如下表所示：

	考試未通過	考試通過	總計
女學(xué)生	27	36	63
男學(xué)生	9	18	27
總計	36	54	90

（Ⅰ）利用獨立性檢驗估計第三輪通過與否與學(xué)生的性別是否有關(guān)？
（Ⅱ）估計全部450名學(xué)生通過第三輪測試的大約有多少人？
（Ⅲ）如果從第三輪測試通過的所有學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生，然后從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求著2名學(xué)生中至少有1名女學(xué)生的概率．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應(yīng)用,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）計算K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）求出學(xué)生通過第三輪測試的頻率，即可估計全部450名學(xué)生通過第三輪測試的大約有多少人？
（Ⅲ）利用列舉法確定從這6名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生的情況，至少有1名女生的取法，即可求出概率．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)公式得，K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

90×(27×18-36×9)2

63×27×36×54

=0.71＜1.323
…（2分）
所以我們認(rèn)為是否通過第三輪測試與學(xué)生的性別無關(guān)．…（3分）
（Ⅱ）由樣本數(shù)據(jù)可知，學(xué)生通過第三輪測試的頻率為

54

90

=0.6．…（4分）
故450名學(xué)生中通過第三輪測試的大約有450×0.6=270（人）  …（6分）
（Ⅲ）根據(jù)表格，通過第三輪測試的男同學(xué)有36人，女同學(xué)18人，…（7分）
由分層抽樣可知，抽取的6名學(xué)生中男學(xué)生有4名，分別記為A，B，C，D，女學(xué)生為2名，分別記為1，2．從中任選2名的不同取法為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，1}，{A，2}，{B，C}，{B，D}，{B，1}，{B，2}，{C，D}，{C，1}，{C，2}，{D，1}，{D，2}，{1，2}，共15種．…（10分）
其中至少有1名女生的取法為{A，1}，{A，2}，{B，1}，{B，2}，{C，1}，{C，2}，{D，1}，{D，2}，
{1，2}，共9種．…（11分）
所以所求事件的概率為

9

15

=

3

5

．…（12分）

點評：本題主要考查了獨立性檢驗知識，考查概率的計算，同時考查了分析問題的能力和運算求解的能力，屬于中檔題