Question

5．設(shè)集合S={1，2，3，4，5}，從S的所有非空子集中隨機(jī)選出一個(gè)，設(shè)所取出的非空子集的最大元素為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望為$\frac{129}{31}$．

Answer 1

分析 依題意知ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，再計(jì)算ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

解答 解：根據(jù)題意，ξ的所有可能取值為1，2，3，4，5；
則P（ξ=1）=$\frac{1}{{2}^{5}-1}$=$\frac{1}{31}$，
P（ξ=2）=$\frac{1+1}{{2}^{5}-1}$=$\frac{2}{31}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{0}{+C}_{2}^{1}{+C}_{2}^{2}}{{2}^{5}-1}$=$\frac{4}{31}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{3}^{0}{+C}_{3}^{1}+…{+C}_{3}^{3}}{{2}^{5}-1}$=$\frac{8}{31}$，
P（ξ=5）=$\frac{{C}_{4}^{0}{+C}_{4}^{1}{+…+C}_{4}^{4}}{{2}^{5}-1}$=$\frac{16}{31}$，
故ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{31}$	$\frac{2}{31}$	$\frac{4}{31}$	$\frac{8}{31}$	$\frac{16}{31}$

從而E（ξ）=1×$\frac{1}{31}$+2×$\frac{2}{31}$+3×$\frac{4}{31}$+4×$\frac{8}{31}$+5×$\frac{16}{31}$=$\frac{129}{31}$．
故答案為：$\frac{129}{31}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是中檔題．