Question

【題目】甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè)（其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮各一個(gè)”），現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲，規(guī)則如下：當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，甲贏得乙一個(gè)福娃；否則乙贏得甲一個(gè)福娃，規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時(shí)，或在此前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止．記游戲終止時(shí)投擲骰子的次數(shù)為ξ
（1）求擲骰子的次數(shù)為7的概率；
（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)ξ=7時(shí)，若甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，

但根據(jù)規(guī)則，前5次中必輸1次”，由規(guī)則，每次甲贏或乙贏的概率均為 ，

因此P（ξ=7）=

（2）解：設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，

向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n，

則由 ，可得：

當(dāng)m=5，n=0或m=0，n=5時(shí)，ξ=5；

當(dāng)m=6n=1或m=1，n=6時(shí)，ξ=7

當(dāng)m=7，n=2或m=2，n=7時(shí)，ξ=9．

因此ξ的可能取值是5、7、9

每次投擲甲贏得乙一個(gè)福娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同，其概率都是

所以ξ的分布列是：

故 ．

【解析】對(duì)于（1）求擲骰子的次數(shù)為7的概率．首先可以分析得到甲贏或乙贏的概率均為 ，若第7次甲贏意味著“第七次甲贏，前6次贏5次，但根據(jù)規(guī)則，前5次中必輸1次”．若乙贏同樣．故可根據(jù)二項(xiàng)分布列出式子求解即可．
對(duì)于（2）求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．故可以設(shè)奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m，偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n．然后根據(jù)題意列出關(guān)系式，求出可能的m n的值又ξ=m+n，求出ξ的可能取值，然后分別求出概率即可得到ξ的分布列，再根據(jù)期望公式求得Eξ即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機(jī)變量及其分布列，需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案．