【題目】甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運(yùn)吉祥物“福娃”5個(gè)(其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮各一個(gè)”),現(xiàn)以投擲一個(gè)骰子的方式進(jìn)行游戲,規(guī)則如下:當(dāng)出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)時(shí),甲贏得乙一個(gè)福娃;否則乙贏得甲一個(gè)福娃,規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時(shí),或在此前某人已贏得所有福娃時(shí)游戲終止.記游戲終止時(shí)投擲骰子的次數(shù)為ξ
(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率;
(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.
【答案】
(1)解:當(dāng)ξ=7時(shí),若甲贏意味著“第七次甲贏,前6次贏5次,
但根據(jù)規(guī)則,前5次中必輸1次”,由規(guī)則,每次甲贏或乙贏的概率均為 ,
因此P(ξ=7)=
(2)解:設(shè)游戲終止時(shí)骰子向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m,
向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n,
則由 ,可得:
當(dāng)m=5,n=0或m=0,n=5時(shí),ξ=5;
當(dāng)m=6n=1或m=1,n=6時(shí),ξ=7
當(dāng)m=7,n=2或m=2,n=7時(shí),ξ=9.
因此ξ的可能取值是5、7、9
每次投擲甲贏得乙一個(gè)福娃與乙贏得甲一個(gè)福娃的可能性相同,其概率都是
所以ξ的分布列是:
故 .
【解析】對(duì)于(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率.首先可以分析得到甲贏或乙贏的概率均為 ,若第7次甲贏意味著“第七次甲贏,前6次贏5次,但根據(jù)規(guī)則,前5次中必輸1次”.若乙贏同樣.故可根據(jù)二項(xiàng)分布列出式子求解即可.
對(duì)于(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.故可以設(shè)奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m,偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n.然后根據(jù)題意列出關(guān)系式,求出可能的m n的值又ξ=m+n,求出ξ的可能取值,然后分別求出概率即可得到ξ的分布列,再根據(jù)期望公式求得Eξ即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機(jī)變量及其分布列,需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中,對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布,簡(jiǎn)稱分布列才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).
(Ⅰ)討論在上的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若曲線上總存在相異兩點(diǎn),使曲線在兩點(diǎn)處的切線互相平行,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)證明f(x)為偶函數(shù);
(2)若不等式k≤xf(x)+ 在x∈[1,3]上恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)當(dāng)x∈[ , ](m>0,n>0)時(shí),函數(shù)g(x)=tf(x)+1,(t≥0)的值域?yàn)閇2﹣3m,2﹣3n],求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:全集U=R,函數(shù) 的定義域?yàn)榧螦,集合B={x|x2﹣a<0}
(1)求UA;
(2)若A∪B=A,求實(shí)數(shù)a的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某賽季,甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員都參加了11場(chǎng)比賽,他們每場(chǎng)比賽得分的情況用如圖所示的莖葉圖表示,則甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的中位數(shù)分別為( )
A.19、13
B.13、19
C.20、18
D.18、20
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角性”.
該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后一行僅有一個(gè)數(shù),則這個(gè)數(shù)為( )
A.2017×22015
B.2017×22014
C.2016×22015
D.2016×22014
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣ (x∈R),區(qū)間M=[a,b](a<b),集合N={y|y=f (x),x∈M}.若M=N,則b﹣a的值是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PD⊥底面ABCD,E,F(xiàn)分別為棱BC,AD的中點(diǎn).
(1)若PD=1,求異面直線PB和DE所成角的余弦值.
(2)若二面角P﹣BF﹣C的余弦值為 ,求四棱錐P﹣ABCD的體積.
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