Question

已知函數(shù)f（x）=x^-1e^x的定義域是（0，+∞）．
（1）求函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）?x∈（0，+∞），不等式xf（x）＞-x²+λx-1恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的定義域，可知當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）在（0，1]上遞減；當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）在[1，+∞）上遞增．從而可確定函數(shù)f（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；
（2）利用分離參數(shù)法，問題可轉(zhuǎn)化為?x＞0，λ＜

ex

x

+x+

1

x

恒成立．由于?x＞0，

ex

x

≥e，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，?x＞0，x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，從而可知當(dāng)x=1時，有(

ex

x

+x+

1

x

)min=e+2，故可求實數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

ex

x

，∴f′(x)=

ex(x-1)

x2

．
當(dāng)x∈（0，1）時，∴f（x）在（0，1]上遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，∴f（x）在[1，+∞）上遞增．
∴當(dāng)m≥1時，f（x）在[m，m+1]上遞增，f(x)min=f(m)=

em

m

；
當(dāng)0＜m＜1時，f（x）在[m，1]上遞減，在[1，m+1]上遞增，f（x）_min=f（1）=e．
∴f(x)min=

em m ，m≥1 e，0＜m＜1

．
（2）?x＞0，e^x＞-x²+λx-1恒成立，即λ＜

ex

x

+x+

1

x

恒成立．
由（1）可知，?x＞0，

ex

x

≥e，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
又?x＞0，x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，有(

ex

x

+x+

1

x

)min=e+2．
∴λ＜e+2．

點評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查基本不等式的運用，考查恒成立問題的處理．