Question

若OA，OB，OC是空間不共面的線段，且滿足OA=OB=OC=1，二面角B-OA-C，C-OB-A，A-OC-B的大小分別為α，β，γ，以O(shè)為球心，半徑為r作球面；給出以下結(jié)論，其中正確的有

 

；
①若r=1，劣弧BC，CA，AB的長為a，b，c，則

sina

sinα

=

sinb

sinβ

=

sinc

sinγ

；
②若r=1，圓弧AB在點A處的切線l₁與圓弧CA在點A處的切線l₂的夾角為α；
③若α=β=γ=

π

2

，球面與以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體的所有表面的交線長度和為f（r），則f（1）=

3

2

π；
④若α=β=γ=

π

2

，球面與以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體的所有表面的交線長度和為f（r），則f（r）-a=0（a∈R）的零點可能有0個，1個，2個，3個，4個．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：壓軸題,閱讀型,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①過B點作BH⊥平面OAC，垂足為H，再過H作HN⊥AO，HM⊥CO，有二面角B-OA-C，A-OC-B的平面角為∠BNH=α，∠BMH=γ，由于r=1，劣弧BC，CA，AB的長為a，b，c，即∠BOC=a，∠AOB=c，∠AOC=b，由直角三角形中正弦函數(shù)的定義，即可判斷；
②若r=1，由相切和二面角平面角的定義，可得，圓弧AB在點A處的切線l₁與圓弧CA在點A處的切線l₂的夾角為α或π-α，即可判斷；
③若α=β=γ=

π

2

，則由面面垂直的性質(zhì)定理，可證得OA，OB，OC兩兩互相垂直，以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體為正方體，球面與所有表面的交線為三段圓弧AB，BC，CA，求出長度，即可判斷；
④由③，球面與正方體所有表面可能無交線或交線為三段圓弧AB，BC，CA，故零點個數(shù)為0，1，即可判斷．

解答： 解：①過B點作BH⊥平面OAC，垂足為H，再過H作HN⊥AO，HM⊥CO，
連接BN，BM，則由線面垂直的性質(zhì)可得BN⊥AO，BM⊥CO，
即有二面角B-OA-C，A-OC-B的平面角為∠BNH=α，∠BMH=γ，
由于r=1，劣弧BC，CA，AB的長為a，b，c，即∠BOC=a，∠AOB=c，
∠AOC=b，sinγ=

BH

BM

，sinα=

BH

BN

，則

sinα

sinγ

=

BM

BN

=

OBsina

OBsinc

，
∴

sinα

sinγ

=

sina

sinc

，同理可得，

sinα

sinβ

=

sina

sinb

，故

sina

sinα

=

sinb

sinβ

=

sinc

sinγ

故①正確；
②若r=1，由相切和二面角平面角的定義，可得，圓弧AB在點A處的切線l₁與圓弧CA在點A處的切線l₂的夾角為α或π-α；故②錯誤；
③若α=β=γ=

π

2

，則由面面垂直的性質(zhì)定理，可證得OA，OB，OC兩兩互相垂直，以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體為正方體，球面與所有表面的交線為三段圓弧AB，BC，CA，長度之和為

3π

2

，故③正確；
④若α=β=γ=

π

2

，以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體為正方體，球面與所有表面的交線長度和為f（r），
則f（r）-a=0（a∈R）的零點可能有0個，1個．故④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面、面面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間的二面角的判斷，以及球面與正方體各面的交線關(guān)系，考查推理能力，屬于有一定難度的題．