Question

18．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為AB的中點(diǎn)，CD⊥DA₁，AC⊥BC，∠ABB₁=45°，AC=BC=BB₁=2．
（1）證明：B₁D⊥BD；
（2）求點(diǎn)A到平面A₁CD的距離．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出BD=$\frac{1}{2}$BA=$\sqrt{2}$，從而∠B₁BD=90°，由此能證明B₁D⊥BD．
（2）推導(dǎo)出CD⊥平面ABB₁A，從而平面CDA₁⊥平面ABB₁A，過A作AE⊥DA₁于E，則AE⊥平面A₁DC，AE即為點(diǎn)A到平面A₁CD的距離，由此利用等面積法能求出點(diǎn)A到平面A₁CD的距離．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（1）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為AB的中點(diǎn)，
CD⊥DA₁，AC⊥BC，∠ABB₁=45°，AC=BC=BB₁=2．
∴BD=$\frac{1}{2}$BA=$\sqrt{2}$，…（2分）
又BB₁=2，且∠B₁BD=45°，∴∠B₁BD=90°，
∴B₁D⊥BD．…（6分）
解：（2）∵CD⊥BA，CD⊥DA₁，∴CD⊥平面ABB₁A，
∴平面CDA₁⊥平面ABB₁A，…（8分）
過A作AE⊥DA₁于E，則AE⊥平面A₁DC，∴AE即為點(diǎn)A到平面A₁CD的距離，…（10分）
A₁D=$\sqrt{{B}_{1}{D}^{2}+{B}_{1}{{A}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故在△ADA₁中，
由等面積法得AE=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．