Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，且S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₄（1-S_n+1）（n∈N⁺），T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N⁺），當(dāng)n=1時(shí)，由${a}_{1}+\frac{1}{3}{a}_{1}$=1，解得${a}_{1}=\frac{3}{4}$．當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}+\frac{1}{3}{a}_{n-1}$=1，可得a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由（1）知1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=$（\frac{1}{4}）^{n+1}$，b_n=log₄（1-S_n+1）=-（n+1），可得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由S_n+$\frac{1}{3}$a_n=1（n∈N⁺），當(dāng)n=1時(shí)，由${a}_{1}+\frac{1}{3}{a}_{1}$=1，解得${a}_{1}=\frac{3}{4}$，…（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，${S}_{n-1}+\frac{1}{3}{a}_{n-1}$=1，可得a_n+$\frac{1}{3}（{a}_{n}-{a}_{n-1}）$=0，解得a_n=$\frac{1}{4}{a}_{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{3}{4}$為首項(xiàng)，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列．  …（4分）
故a_n=$\frac{3}{4}×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=$3×（\frac{1}{4}）^{n}$（n∈N^*）　  …（6分）
（2）由（1）知1-S_n+1=$\frac{1}{3}{a}_{n+1}$=$（\frac{1}{4}）^{n+1}$，
b_n=log₄（1-S_n+1）=-（n+1），
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和方法”、等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．