Question

18．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若函數(shù)y=log_ax（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．

Answer 1

分析 如圖所示，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x+3y-6=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1）．根據(jù)函數(shù)y=log_ax（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，a取得最小值，可得a．

解答 解：如圖所示，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10≥0}\\{x+3y-6≤0}\end{array}\right.$，表示的平面區(qū)域?yàn)镈，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-10=0}\\{x+3y-6=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，∴A（3，1）．
∵函數(shù)y=log_ax（a＞1）的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，
∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，a取得最小值，1=log_a3，解得a=3．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，+∞）．
故答案為：[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性規(guī)劃、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式與方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．