Question

設(shè)函數(shù).

（1）若函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的最大值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；

（3）記，證明：不等式．

Answer 1

（1）0，（2）（3）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）解決類似的問題時(shí)，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)使的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有使的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得.（2）有關(guān)的探索問題：第一步：假設(shè)符合條件的結(jié)論存在；第二步：從假設(shè)出發(fā)，利用題中關(guān)系求解；第三步，確定符合要求的結(jié)論存在或不存在；第四步：給出明確結(jié)果；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn).（3）不等式具有放縮功能，常常用于證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好切入點(diǎn).

試題解析：（1）由已知得：

，

且函數(shù)在處有極值

∴，

即

∴

∴

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

∴函數(shù)的最大值為

（2）由已知得：

1.若，則時(shí)，

∴在上為減函數(shù)，

∴在上恒成立；

2.若，則時(shí)，

∴在上為增函數(shù)，

∴，不能使在上恒成立；

3.若，則時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，

此時(shí)，

∴不能使在上恒成立；

綜上所述，的取值范圍是

（3） 由（1）、（2）得：

取得：

令，

則，.

因此.

又，

故

因此.

又，

故

考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)與最值（2）求參數(shù)取值范圍（3）證明不等式.