Question

4．給出下列說法：
①冪函數(shù)的圖象一定不過第四象限；
②奇函數(shù)圖象一定過坐標(biāo)原點(diǎn)；
③已知函數(shù)y=f（x+1）的定義域?yàn)閇1，2]，則函數(shù)y=f（2x）的定義域?yàn)閇2，3]；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$成立，則f（x）在R上是增函數(shù)；
⑤$f（x）=\frac{1}{x}$的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
正確的有①④．

Answer 1

分析 由冪函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷①；由奇函數(shù)的圖象不一定過坐標(biāo)原點(diǎn)，比如反比例函數(shù)的圖象，即可判斷②；
函數(shù)y=f（x+1）的定義域?yàn)閇1，2]，求得f（x）的定義域?yàn)閇2，3]，可得f（2x）的定義域，即可判斷③；
由單調(diào)性的定義，即可判斷④；由舉例，比如x₁=-1，x₂=1，則f（-1）＜f（1），即可判斷⑤．

解答 解：①冪函數(shù)y=xⁿ，當(dāng)x＞0時(shí)，y＞0，則冪函數(shù)的圖象一定不過第四象限，故①正確；
②奇函數(shù)y=x^-1的圖象不過原點(diǎn)，則奇函數(shù)圖象不一定過坐標(biāo)原點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
③已知函數(shù)y=f（x+1）的定義域?yàn)閇1，2]，即有1≤x≤2，則2≤x+1≤3，即有y=f（x）的定義域?yàn)閇2，3]，
則函數(shù)y=f（2x），有2≤2x≤3，解得1≤x≤$\frac{3}{2}$，則f（2x）的定義域?yàn)閇1，$\frac{3}{2}$]，故③錯(cuò)誤；
④定義在R上的函數(shù)f（x）對任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)a、b，總有$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞0$成立，即有a＞b，總有f（a）＞f（b），則f（x）在R上是增函數(shù)，故④正確；
⑤$f（x）=\frac{1}{x}$的單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0）和（0，+∞），不能運(yùn)用并集，比如x₁=-1，x₂=1，則f（-1）＜f（1），故⑤錯(cuò)誤．
綜上可得正確的命題為①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，主要是函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，以及單調(diào)性的判斷，函數(shù)的定義域和冪函數(shù)的圖象的特點(diǎn)，考查判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．