Question

3．已知數(shù)集A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂…＜a_n，n≥2）具有性質(zhì)P；對(duì)任意的  i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A．
（1）分別判斷數(shù)集{0，1，3，4}與{0，2，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說(shuō)明理由；
（2）證明：a₁=0，且na_n=2（a₁+a₂+a+..+a_n）
（3）當(dāng)n=5時(shí)若 a₂=2，求集合A．

Answer 1

分析 （1）利用a_i+a_j與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A．即可判斷出結(jié)論．
（2）令j=n，i＞1，由“a_i+a_j與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A”，可得a_n-a_i屬于A．令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某項(xiàng)，a₁不行，是0，a₂可以．同理可得：令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，倒序相加即可得到．
（3）當(dāng) n=5時(shí)，取j=5，當(dāng)i≥2時(shí)，a_i+a₅＞a₅，由A具有性質(zhì)P，a₅-a_i∈A，又i=1時(shí)，a₅-a₁∈A，可得a₅-a_i∈A，i=1，2，3，4，5，a₅-a₁＞a₅-a₂＞a₅-a₃＞a₅-a₄＞a₅-a₅=0，則a₅-a₁=a₅，a₅-a₂=a₄，a₅-a₃=a₃，又a₃+a₄＞a₂+a₄=a₅，可得a₃+a₄∉A，則a₄-a₃∈A，則有a₄-a₃=a₂=a₂-a₁．可得a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是首項(xiàng)為0，公差為a₂=2等差數(shù)列．

解答 解：（1）由于0+1，0+2，0+3，0+4，1+3，4-1，4-3，都屬于數(shù)集{0，1，3，4}，
∴該數(shù)集具有性質(zhì)P．
由于2+3與3-2均不屬于數(shù)集{0，2，3，6}，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P．
（2）證明：令j=n，i＞1，則∵“a_i+a_j與a_j-a_i兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A”，
∴a_i+a_j不屬于A，∴a_n-a_i屬于A．
令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某項(xiàng)，a₁不行，是0，a₂可以．
如果是a₃或者a₄，那么可知a_n-a₃=a_n-1，那么a_n-a₂＞a_n-a₃=a_n-1，只能是等于a_n了，矛盾．
所以令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，
∴倒序相加即可得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{n}{2}$a_n．
即na_n=2（a₁+a₂+a+..+a_n）．
（3）當(dāng) n=5時(shí)，取j=5，當(dāng)i≥2時(shí)，a_i+a₅＞a₅，
由A具有性質(zhì)P，a₅-a_i∈A，又i=1時(shí)，a₅-a₁∈A，
∴a₅-a_i∈A，i=1，2，3，4，5
∵0=a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，∴a₅-a₁＞a₅-a₂＞a₅-a₃＞a₅-a₄＞a₅-a₅=0，
則a₅-a₁=a₅，a₅-a₂=a₄，a₅-a₃=a₃，
從而可得a₂+a₄=a₅，a₅=2a₃，故a₂+a₄=2a₃，即0＜a₄-a₃=a₃-a₂＜a₃，
又∵a₃+a₄＞a₂+a₄=a₅，∴a₃+a₄∉A，則a₄-a₃∈A，則有a₄-a₃=a₂=a₂-a₁．
又∵a₅-a₄=a₂=a₂-a₁，∴a₅-a₄=a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=a₂，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅是首項(xiàng)為0，公差為a₂=2等差數(shù)列，
∴A={0，2，4，6，8}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式、新定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．