Question

12．設(shè)數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，d₁=1，$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=4ⁿ（n≥2），求S_n．

Answer 1

分析 由d₁=1，$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=4ⁿ（n≥2），可得$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$．利用“累乘求積”方法、等差數(shù)列的求和公式、指數(shù)的運(yùn)算法則即可得出．

解答 解：∵d₁=1，$\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=4ⁿ（n≥2），∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=$\frac{1}{{4}^{n}}$．
∴S_n=$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$$•\frac{{S}_{n-1}}{{S}_{n-2}}$•…•$\frac{{S}_{3}}{{S}_{2}}$•$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$•S₁=$\frac{1}{{4}^{n}}$×$\frac{1}{{4}^{n-1}}$×…×$\frac{1}{{4}^{3}}×\frac{1}{{4}^{2}}$×1=$\frac{1}{{4}^{\frac{（n-1）（2+n）}{2}}}$=$\frac{1}{{2}^{{n}^{2}+n-2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、“累乘求積”方法、等差數(shù)列的求和公式、指數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．