Question

已知橢圓C的焦點為F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），焦點到短軸端點的距離為2

10

．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)點P是橢圓C上的一點，且在第一象限．若△PF₁F₂為直角三角形，試判斷直線PF₁與圓O：x²+y²=

5

2

的位置關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標準方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）①當(dāng)∠PF₂F₁為直角時，求得直線PF₁的方程，利用點到直線的距離公式即可判斷出；
②當(dāng)∠F₁PF₂為直角時，聯(lián)立

x2 40 + y2 15 =1 x2+y2=25

解出點P的坐標即可得到圓心到直線PF₁的距離，即可判斷出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意可得a=2

10

，c=5，
∴b²=a²-c²=15． 
∴橢圓C的方程為

x2

40

+

y2

15

=1．
（2）圓O：x²+y²=

5

2

的圓心為原點，半徑r=

10

2

．
①當(dāng)∠PF₂F₁為直角時，點P的坐標為（5，

3 10

4

）．  
直線PF₁的方程為y=

3

4 10

（x+5）．此時圓心到直線PF₁的距離為

15

13

＜

10

2

．
∴直線PF₁與圓O：x²+y²=

5

2

相交． 
②當(dāng)∠F₁PF₂為直角時，設(shè)點P的坐標為（x，y）．聯(lián)立

x2 40 + y2 15 =1 x2+y2=25

解得

x=4 y=3

∵點P的坐標為（4，3）．
則點P到橢圓右焦點（5，0）的距離為

10

．
 利用三角形的中位線定理可得圓心O到直線PF₁的距離為

10

2

．
所以直線PF₁與圓O：x²+y²=

5

2

相切．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質(zhì)、分類討論的思想方法、點到直線的距離公式、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立求得交點坐標是解題的關(guān)鍵．