Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞)．
（1）當(dāng)a=

1

2

時，判斷并證明函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性；
（2）如果對任意x∈[1，+∞），有f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=

1

2

時，f(x)=x+

1

2x

+2，f′(x)=1-

1

2x2

，從而有當(dāng)x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0，故可判斷；
（2）f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，x∈[1，+∞)，則問題等價于x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函數(shù)，所以取1時，有最小值）所以min （x+1）²=4＞1-a（min （x+1）²是說（x+1）²的最小值），故可解．

解答：解：（1）當(dāng)a=

1

2

時，f(x)=x+

1

2x

+2，f/(x)=1-

1

2x2

當(dāng)x∈[1，+∞）時，f′（x）＞0，從而函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)增；
（2）f(x)=

x2+2x+a

x

＞0，x∈[1，+∞)，則x²+2x+a＞0，即（x+1）²+a-1＞0（y=（x+1）²+a-1是增函數(shù)，所以取1時，有最小值）所以4＞1-a，解得a＞-3．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷與證明函數(shù)的單調(diào)性，同時考查最值法研究函數(shù)恒成立問題．