Question

4．已知拋物線y²=4x和點M（6，0），O為坐標原點，直線l過點M，且與拋物線交于A，B兩點．
（1）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$；
（2）若△OAB的面積等于12$\sqrt{10}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由x=my+6與拋物線y²=4x得y²-4my-24=0，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$；
（2）S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=3$\sqrt{16{m}^{2}+96}$=12$\sqrt{{m}^{2}+6}$=12$\sqrt{10}$，求出m，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為x=my+6，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x=my+6與拋物線y²=4x得y²-4my-24=0，顯然△＞0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24，x₁x₂=36
可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=12．…（6分）
（2）S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OM|•|y₁-y₂|=3$\sqrt{16{m}^{2}+96}$=12$\sqrt{{m}^{2}+6}$=12$\sqrt{10}$，
∴m²=4，m=±2．
那么直線l的方程為x+2y-6=0和x-2y-6=0…（12分）

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．