Question

20．若sin（3π-α）=$\sqrt{2}$sin（2π+β），$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），且0＜α＜β＜π，則sinα•sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由條件應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡條件，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得要求式子的值．

解答 解：∵sin（3π-α）=$\sqrt{2}$sin（2π+β），∴sinα=$\sqrt{2}$•sinβ；
∵$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），∴$\sqrt{3}$cosα=$\sqrt{2}$cosβ，∴cosα=$\sqrt{\frac{2}{3}}$cosβ，
又 0＜α＜β＜π，∴α、β都是銳角．
再根據(jù)sin²α+cos²α=2sin²β+$\frac{2}{3}$cos²β=$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{2}$sin²β=1，求得sinβ=$\frac{1}{2}$，
∴sinα=$\sqrt{2}$•sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinα•sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．