Question

【題目】已知集合Rn={X|X=（x1 ， x2 ， …，xn），xi∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．對(duì)于A=（a1 ， a2 ， …，an）∈Rn ， B=（b1 ， b2 ， …，bn）∈Rn ， 定義A與B之間的距離為d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|an﹣bn|= ．
（Ⅰ）寫出R2中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；
（Ⅱ）若集合M滿足：MR3 ， 且任意兩元素間的距離均為2，求集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫出此時(shí)的集合M；
（Ⅲ）設(shè)集合PRn ， P中有m（m≥2）個(gè)元素，記P中所有兩元素間的距離的平均值為 ，證明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2 ， d（A，B）max=2．
（Ⅱ）R3中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合M中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}
或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，
集合M中元素個(gè)數(shù)最大值為4．
（Ⅲ） ，其中 表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和．
設(shè)P中所有元素的第i個(gè)位置的數(shù)字中共有ti個(gè)1，m﹣ti個(gè)0，則
由于 （i=1，2，…，n）
所以
從而
【解析】（Ⅰ）根據(jù)集合的定義，寫出R2中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；（Ⅱ）R3中含有8個(gè)元素，可將其看成正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，已知集合M中的元素所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，應(yīng)該兩兩位于該正方體面對(duì)角線的兩個(gè)端點(diǎn)，即可求集合M中元素個(gè)數(shù)的最大值并寫出此時(shí)的集合M；（Ⅲ） ，其中 表示P中所有兩個(gè)元素間距離的總和，根據(jù) ，即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（�。┲�；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�