Question

18．已知拋物線y²=2px，p為方程x²-4x-12=0的根．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若拋物線與直線y=2x-5無公共點(diǎn)，試在拋物線上求一點(diǎn)，使這點(diǎn)到直線y=2x-5的距離最短．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解方程即可求出p的值，問題得以解決；
（Ⅱ）法一、拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（-$\frac{{t}^{2}}{4}$，t）為拋物線y²=-4x上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線y=2x-5的距離為d，故當(dāng)t=-1時(shí)，d取得最小值．
法二、拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點(diǎn)，設(shè)與直線y=2x-5平行且與拋物線y²=-4x相切的直線方程為y=2x+b，切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）p為方程x²-4x-12=0的根，解得p=-2或6，
∴y²=-4x或y²=12x；
（Ⅱ）解法一、顯然拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)P（-$\frac{{t}^{2}}{4}$，t）為拋物線y²=-4x上的任意一點(diǎn)，
點(diǎn)P到直線y=2x-5的距離為d，
則d=$\frac{|2×（-\frac{{t}^{2}}{4}）-t-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{{t}^{2}+2t+10}{2\sqrt{5}}$
當(dāng)t=-1時(shí)，d取得最小值，
此時(shí)P（-$\frac{1}{4}$，-1）為所求的點(diǎn) 
解法二、顯然拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點(diǎn)，
設(shè)與直線y=2x-5平行且與拋物線y²=-4x相切的直線方程為y=2x+b，
切點(diǎn)為P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{y}^{2}=-4x}\end{array}\right.$，
消去y并化簡得：4x²+4（b+1）x+b²=0，
∵直線與拋物線相切，
∴△=16（b+1）²-16b²=0，
解得：b=-$\frac{1}{2}$
把b=-$\frac{1}{2}$代入方程4x²+4（b+1）x+b²=0并解得：x=-$\frac{1}{4}$，∴y=-1
故所求點(diǎn)為P（-$\frac{1}{4}$，-1）．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．