Question

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），點(diǎn)M是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且MF₁?MF₂的最大值為25．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知有一定點(diǎn)N（2，0），求MN的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由橢圓的定義可知，MF₁+MF₂=2a，再由基本不等式求出MF₁•MF₂的最大值a²，再由a，b，c的關(guān)系，即可得到方程；
（2）令M（5cosα，4sinα），運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，化簡(jiǎn)三角函數(shù)，并配方結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可切得最小值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則c=3，MF₁+MF₂=2a，MF₁•MF₂≤（

MF1+MF2

2

）²=a²，
當(dāng)且僅當(dāng)MF₁=MF₂，取最大值a²，
則a²=25，b²=a²-c²=16．
則橢圓C的方程

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）令M（5cosα，4sinα），由于N（2，0），
MN=

(5cosα-2)2+16sin2α

=

9cos2α-20cosα+20

=

9(cosα- 10 9 )2+ 80 9

，
由于

10

9

∉[-1，1]，
則cosα=1時(shí)，MN取最小值3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，以及參數(shù)方程的運(yùn)用，考查基本不等式的運(yùn)用和三角函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．