如圖，在邊長(zhǎng)為3等邊三角形ABC中，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，且
AP
=λ
AB
（0≤λ≤1），設(shè)
CA
=a，
CB
=b．
（1）若λ=
1
3
，試用a，b表示
CP
并求|
CP
|；
（2）若
CP
•
AB
≥
PA
•
PB
，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平行向量與共線向量
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用向量的三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出；
（2）利用向量的三角形法則和數(shù)量積定義、一元二次不等式的解法即可得出．
解答： 解：（1）當(dāng)λ=
1
3
時(shí)，
AP
=
1
3
AB
，
CP
=
CA
+
AP
=
CA
+
1
3
AB
=
CA
+
1
3
(
CB
-
CA
)=
1
3
CB
+
2
3
CA
=
1
3
b
+
2
3
a
．
∵
a
•
b
=3×3×cos60°=
9
2
．
∴|
CP
|=
4
9
a
2+
1
9
b
2+
4
9
a
•
b
=
4
9
×32+
1
9
×32+
4
9
×
9
2
=
7
．
（2）∵
CP
=
CA
+
AP
=
CA
+λ
AB
，
PB
=
PA
+
AB
=
AB
-
AP
=(1-λ)
AB
，
∴
CP
•
AB
≥
PA
•
PB
，化為(
CA
+λ
AB
)•
AB
≥-λ
AB
•(1-λ)
AB
，
∴
CA
•
AB
+λ
AB
2≥λ(λ-1)
AB
2，
∴3×3×cos120°+9λ≥9λ（λ-1），
化為2λ2-4λ+1≤0，及0≤λ≤1．
解得
2-
2
2
≤λ≤1．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是[1-
2
2
，1]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的三角形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量的三角形法則和數(shù)量積定義、一元二次不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

現(xiàn)將三雙不同品牌的鞋排成一行，記同一雙鞋相鄰的數(shù)目為ξ．
（1）求ξ=0時(shí)的概率
（2）求ξ的分布列與期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)向量
a
=（1，sinθ），
b
=（2，cosθ），θ為銳角．
（1）若
a
•
b
=
7
3
，求sinθ+cosθ的值；
（2）若
a
∥
b
，求sinθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，BC=2
2
，O為BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PB-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（1，2）作傾斜角為45°的直線l與曲線C：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）求
1
|PM|
+
1
|PN|
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

學(xué)校訂集了21000本學(xué)生用書，它們分別來(lái)自一、二、三年級(jí)，現(xiàn)在采用分層抽樣的方法對(duì)這批書進(jìn)行檢查．已知從一、二、三年級(jí)抽取的本數(shù)分別為x，y，z，且滿足2y=x+z，則這批書中二年級(jí)有
 
本．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知|
a
|=1，|
b
|=2，
a
與
b
的夾角為60°，求：
（1）
a
在
b
方向上的投影；
（2）
c
=λ
a
+
b
與
d
=
a
+2
b
的夾角為銳角，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知
a
=（1+cosx，1），
b
=（1+sinx，m）．
（1）若m=1，且
a
∥
b
時(shí)，求x的值；
（2）記f（x）=
a
•
b
，若f（x）＞0對(duì)任意的x∈R恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2-2x-3， x≤0
-x2， x＞0
，若f（a）=-4，則a=
 
．

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