Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx
（1）若f（x）是區(qū)間（0，1）上單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若?t≥1，f（2t-1）≥2f（t）-3，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)f（x）是區(qū)間（0，1）上單調(diào)函數(shù)，可轉(zhuǎn)化成?x（0，1），f'（x）≥0或?x∈（0，1）f'（x）≤0恒成立，將a分離出來，即可求出a的范圍；
（2）先化簡f（2t-1）≥2f（t）-3得2（t-1）²2alnt+aln（2t-1）≥0，令g（t）=2（t-1）²-2alnt+aln（2t-1），討論a與2的大小，利用導(dǎo)數(shù)研究g（t）的最小值恒大于等于0即可求出a的范圍．
解答：解：（1）
∵f（x）在（0，1）上單調(diào)
∴?x（0，1），f'（x）≥0或?x∈（0，1）f'（x）≤0
∴a≥-2（x²+x）或a≤-2（x²+x）
從而a≥0或a≤-4（7分）
（2）f（2t-1）≥2f（t）-3?2（t-1）²2alnt+aln（2t-1）≥0①
令g（t）=2（t-1）²-2alnt+aln（2t-1）
則
當(dāng)a≤2時
∵t≥1，
∴t-1≥0，2t（t-1）≥2
∴g'（t）≥0對t＞1恒成立，
∴g（t）在[1，+∞）上遞增，
∴g（t）≥g（1）=0，即1式對t≥1恒成立．
當(dāng)a＞2時，
令g'（t）＜0且t＞1，
解得
于是，上遞減，在上遞增，
從而有，即①式不可能恒成立．
綜上所述a≤2．（16分）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式恒成立問題，是考試中常考的題型，屬于中檔題．