Question

若對(duì)任意x∈R，不等式

(x2+1)cosθ-x(cosθ-5)+3

x2-x+1

＞sinθ-1恒成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：原不等式變形為：（cosθ-sinθ+1）x²-（cosθ-sinθ-4）x+cosθ-sinθ+4＞0，令t=cosθ-sinθ得：（t+1）x²-（t-4）x+t+4＞0，求出t的范圍，即可求θ的取值范圍．

解答： 解：原不等式變形為：（cosθ-sinθ+1）x²-（cosθ-sinθ-4）x+cosθ-sinθ+4＞0
令t=cosθ-sinθ得：（t+1）x²-（t-4）x+t+4＞0，
∴

t+1＞0 (t-4)2-4(t+1)(t+4)＜0

⇒t＞0
∴cosθ-sinθ＞0，∴cosθ＞sinθ，∴2kπ-

3π

4

＜θ＜2kπ+

π

4

，k∈Z
所以θ得范圍是（2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

）  k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．