Question

已知f（x）=ax²+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值為2，最小值為-．求證：a≠0且||＜2．

Answer 1

【答案】分析：先反設(shè)，再分情況進行討論，即可證明．
解答：證明：由a+c=0，可得c=-a，故f（x）=ax²+bx+（-a）．
假設(shè)a=0或||≥2．
（1）由a=0得f（x）=bx，由于b≠0，故f（x）在[-1，1]上單調(diào)，
因此f（x）最大值為|b|，最小值為-|b|．
∴，矛盾表明a≠0；
（2）由||≥2得||≥1且a≠0．
∴區(qū)間[-1，1]位于拋物線f（x）=ax²+bx-a的對稱軸x=的左側(cè)或右側(cè)．
因此，f（x）在[-1，1]上單調(diào)，其最大值為|b|，最小值為-|b|，這是不可能的．
由此可知假設(shè)不成立，原命題成立，即a≠0且||＜2．
綜上，a≠0且||＜2．
點評：本題考查不等式的證明，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．