Question

如圖,已知橢圓C：(m＞0)，經(jīng)過(guò)其右焦點(diǎn)F且以a=（1,1)為方向向量的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)O為橢圓的中心，射線OM交橢圓C于N點(diǎn)．

（1）求證：;

（2）求的值．

Answer 1

（1）證明:∵a²=m²,b²=m²,

∴c²=a²-b²=m².

∴F(m,0).

∵直線l過(guò)焦點(diǎn)F(m,0)且與向量a=(1,1)?平行,

∴直線l的方程為y=x-m.

將其代入橢圓C的方程，并整理可得8x²-10mx-m²=0.①

設(shè)A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),M(x_M,y_M),N(x_N,y_N).

∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，在方程①中由韋達(dá)定理,可得x_M==m,y_M=x_M-m=-m,

∴M(m,-m).

設(shè)N′為OM延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且M為ON′的中點(diǎn)，則N′(m,-m)，且四邊形OAN′B為平行四邊形.

將N′的坐標(biāo)代入橢圓C方程的左端并化簡(jiǎn)得·(m)²+·(-m)²=m²,

∴N′點(diǎn)在橢圓C上,N′與N點(diǎn)重合.

∴四邊形OANB為平行四邊形,于是+=.

（2）解:∵·=x_Ax_B+y_Ay_B,

在方程①中由韋達(dá)定理，得x_Ax_B=-m²,

∴y_Ay_B=(x_A-m)(x_B-m)=x_Ax_B-m(x_A+x_B)+m²

=-m²-m²+m²

=-m².1

∴·=-m²-m²=-m².