如圖,已知橢圓C:
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1(0,c)、F2(0,-c)(c>0),拋物線(xiàn)P:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)與F1重合,過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)P相切,切點(diǎn)E在第一象限,與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),且
F2B
=λ
AF2

(1)求證:切線(xiàn)l的斜率為定值;
(2)若動(dòng)點(diǎn)T滿(mǎn)足:
ET
=μ(
EF1
+
EF2
),μ∈(0,
1
2
)
,且
ET
OT
的最小值為-
5
4
,求拋物線(xiàn)P的方程;
(3)當(dāng)λ∈[2,4]時(shí),求橢圓離心率e的取值范圍.
分析:(1)由橢圓C:
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1(0,c)、F2(0,-c)(c>0),拋物線(xiàn)P:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)與F1重合,知拋物線(xiàn)P:x2=4cy.設(shè)過(guò)F2的直線(xiàn)l的方程為y+c=kx,聯(lián)立
y+c=ky
x2=4cy
,得x2-4kcx+4c2=0,利用韋達(dá)定理能證明切線(xiàn)l的斜率為定值.
(2)設(shè)EO=t,由
ET
=μ(
EF1
+
EF2
),μ∈(0,
1
2
)
,知T在線(xiàn)段EO上移動(dòng),故
EO
OT
=-|
EO
|•|
OT
|
|
EO
|+|
OT
|=t
,由
ET
OT
的最小值為-
5
4
,得到t=
5
.由此能求出拋物線(xiàn)P的方程.
(3)由直線(xiàn)l的方程為y=x-
5
.聯(lián)立
y=x-
5
x2
a2-5
+
y2
a2
=1
,得(2a2-5)x2-2
5
(a2-5)x-(a2-5)2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
,x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5
.當(dāng)λ=2時(shí),x1=-2x2.當(dāng)λ=4時(shí),x1=-4x2.由此能求出橢圓離心率e的取值范圍.
解答:(1)證明:∵橢圓C:
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
的左、右焦點(diǎn)分別為F1(0,c)、F2(0,-c)(c>0),
拋物線(xiàn)P:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)與F1重合,
p
2
=c
,∴拋物線(xiàn)P:x2=4cy.
設(shè)過(guò)F2的直線(xiàn)l的方程為y+c=kx,
聯(lián)立
y+c=ky
x2=4cy
,得x2-4kcx+4c2=0,
∵過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)P相切,切點(diǎn)E在第一象限,
△=16k2c2-16c2=0
k>0
,
解得k=1.
故切線(xiàn)l的斜率k為定值1.
(2)設(shè)EO=t,∵
ET
=μ(
EF1
+
EF2
),μ∈(0,
1
2
)
,
∴T在線(xiàn)段EO上移動(dòng),
ET
OT
=-|
ET
|•|
OT
|
|
ET
|+|
OT
|=t

ET
OT
的最小值為-
5
4
,
∴當(dāng)|
ET
|=|
OT
|=
t
2
時(shí),
ET
OT
的最小值=-
t2
4
=-
5
4

∴t=
5

∵過(guò)F2的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)P相切,切點(diǎn)E在第一象限,
∴由(1)知k=1,拋物線(xiàn)在E點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),得E(p,
p
2
),
由t2=P2+(
p
2
2=5,解得P=2,所以?huà)佄锞(xiàn)方程為,
∴拋物線(xiàn)P的方程為x2=4y.
(3)由(2)得c=
5
,
∵直線(xiàn)l的斜率k=1,∴直線(xiàn)l的方程為y=x-
5

聯(lián)立
y=x-
5
x2
a2-5
+
y2
a2
=1
,得(2a2-5)x2-2
5
(a2-5)x-(a2-5)2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
,x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5

∵直線(xiàn)l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),且
F2B
=λ
AF2
,λ∈[2,4],
∴當(dāng)λ=2時(shí),x1=-2x2
x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
=-x2,x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5
=-2x22
-(a2-5)2
2a2-5
=-2•
20(a2-5)2
(2a2-5)2
,解得a=
3
10
2
,e=
5
3
10
2
=
2
3

當(dāng)λ=4時(shí),x1=-4x2
x1+x2=
2
5
(a2-5)
2a2-5
=-3x2x1x2=
-(a2-5)2
2a2-5
=-4x22
-(a2-5)2
2a2-5
=-4•
1
9
20(a2-5)2
(2a2-5)2
,解得a=
5
10
6
,e=
5
5
10
6
=
3
2
5

∴橢圓離心率e的取值范圍是[
2
3
3
2
5
].
點(diǎn)評(píng):本題考查切線(xiàn)斜率為定值的求法,考查拋物線(xiàn)方程的求法,考查橢圓離心率取值范圍的求法.解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱(chēng)△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1和C2
x2
16
+
y2
4
=1,判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)已知直線(xiàn)l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng),若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
,過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P(2,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn),分別與橢圓交于點(diǎn)A、B,直線(xiàn)AB與x軸交于點(diǎn)M,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求橢圓C的方程:
(Ⅱ)若S△PMN=
3
2
,求直線(xiàn)AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A,F(xiàn),右準(zhǔn)線(xiàn)為l,N為l上一點(diǎn),且在x軸上方,AN與橢圓交于點(diǎn)M.
(1)若AM=MN,求證:AM⊥MF;
(2)過(guò)A,F(xiàn),N三點(diǎn)的圓與y軸交于P,Q兩點(diǎn),求PQ的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求
TM
TN
的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線(xiàn)MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:|OR|•|OS|為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的左頂點(diǎn),右焦點(diǎn)分別為A、F,右準(zhǔn)線(xiàn)為m.圓D:x2+y2+x-3y-2=0.
(1)若圓D過(guò)A、F兩點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)若直線(xiàn)m上不存在點(diǎn)Q,使△AFQ為等腰三角形,求橢圓離心率的取值范圍.
(3)在(1)的條件下,若直線(xiàn)m與x軸的交點(diǎn)為K,將直線(xiàn)l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線(xiàn)l,動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上,過(guò)P作圓D的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為M、N,求弦長(zhǎng)MN的最小值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案