Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：xy2=0，拋物線C：y2=2px（p＞0）.

（1）若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；

（2）已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q.

①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為；

②求p的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析;②.

【解析】

（1）先確定拋物線焦點(diǎn)，再將點(diǎn)代入直線方程；（2）①利用拋物線點(diǎn)之間關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求證;②利用直線與拋物線位置關(guān)系確定數(shù)量關(guān)系：，解出p的取值范圍.

（1）拋物線的焦點(diǎn)為

由點(diǎn)在直線上，得，即

所以拋物線C的方程為

（2）設(shè)，線段PQ的中點(diǎn)

因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線垂直平分線段PQ，

于是直線PQ的斜率為，則可設(shè)其方程為

①由消去得

因?yàn)?/span>P 和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以

從而，化簡(jiǎn)得.

方程（*）的兩根為，從而

因?yàn)?/span>在直線上，所以

因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為

②因?yàn)?/span>在直線上

所以，即

由①知，于是，所以

因此的取值范圍為