Question

對(duì)任意正整數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=，則[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（ ）
A．
B．1
C．-
D．

Answer 1

【答案】分析：先由f （x+y）=f （x）•f （y）得f （2x）=f （x）²⇒=f（x）．以及 =，兩個(gè)結(jié)論相結(jié)合可得 =f（n）=ⁿ，把問題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的和，再代入求和公式即可．
解答：解：由f（x+y）=f（x）•f（y）得 f（2x）=f（x）²⇒=f（x）．
∵f （x+y）=f （x）•f （y）⇒f （x+1）=f （x）•f （2）=2f（x）⇒=，
所以數(shù)列{f（n）}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故f（n）=×^n-1=（）ⁿ．
∴=f（n）=（）ⁿ．
則 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（）¹+（）²+（）³+…+ⁿ==1-（）ⁿ．
[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=[1-（）ⁿ]=1
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．