Question

對任意正整數x，y都有f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）=

1

2

，則

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（　�。�

• A、

  1

  4

• B、1
• C、-

  1

  2

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：先由f （x+y）=f （x）•f （y）得f （2x）=f （x）²⇒

f(2x)

f(x)

=f（x）．以及

f(x+1)

f(x)

=

1

2

，兩個結論相結合可得

f(2n)

f(n)

=f（n）=(

1

2

)ⁿ，把問題轉化為求等比數列的和，再代入求和公式即可．

解答：解：由f（x+y）=f（x）•f（y）得 f（2x）=f（x）²⇒

f(2x)

f(x)

=f（x）．
∵f （x+y）=f （x）•f （y）⇒f （x+1）=f （x）•f （2）=2f（x）⇒

f(x+1)

f(x)

=

1

2

，
所以數列{f（n）}是以

1

2

為首項，

1

2

為公比的等比數列，故f（n）=

1

2

×

1

2

^n-1=（

1

2

）ⁿ．
∴

f(2n)

f(n)

=f（n）=（

1

2

）ⁿ．
則 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=（

1

2

）¹+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+(

1

2

)ⁿ=

1 2 (1- 1 2 n)

1- 1 2

=1-（

1

2

）ⁿ．

lim

n→∞

[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）]=

lim

n→∞

[1-（

1

2

）ⁿ]=1
故選B．

點評：本題主要考查抽象函數及其應用．抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．